z分之sinz的孤立奇点

a,b都是m阶极点,无穷远点为可去奇点用有关定理很容易求出其留数

孤立奇点分三类,一是可去奇点,二是极点,三是本性奇点.基本方法是在该点局部幂级数展开.如果没有主要部分就是可去的;如果只有有限项主要部分的就是极点;如果有无穷多项就是本性奇点.要搞懂还是要看书的.

二阶

一个是可去奇点,一个是3阶极点

求下列各积分之值: (1) (3)∫0π tan(θ+ia)dθ (a为实数且a≠0).请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!

由于cotz=cosz/sinz,因此cotz的奇点就是使sinz=0的点,解得z=kπ,k∈Z,且这些奇点均为一级极点.对于其中任意一个奇点,都有Res(cotz,kπ)=Res(cosz/sinz,kπ)=cosz/(sinz)'=cosz/cosz=1

本题中,奇点有无限多个,除了z=0之外,使e^z-1=0的点也是奇点.解上式有z=Ln1=ln1+i(arg1+2k∏)=2k∏i.可见函数有无限多奇点,且奇点无限逼近∞,因此∞不是孤立奇点.

e^z=(1+i)z=Ln(1+i)=ln(√2)+(π/4+2kπ)i (k为整数) z=0是(sinz-z)的三级零点,z=0是1/(sinz-z)的三阶极点.

积分都很简单,步骤也很少.根据Cauchy积分公式,∮(C1) sinz/(z-1) dz=2πi*sin1.根据Cauchy积分定理,∮(C2) sinz/(z-1) dz=0.