拉普拉斯算符在球坐标系

我看过的有两种方法可以推倒出来,第一种方法是可以参照郭硕宏著的后面的附录,比较简单,第二种方法比较繁,给你推倒思路:由x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ解出r,θ,φ,r^2=x^2+y^2+z^2,cosθ=z/r,tanφ=y/x,再将r,φ分别对x,y,z求偏倒,然后整体求出对x,y,z的一价偏导数,再次偏导可求出拉普拉斯算子的平方在球坐标系下的表示

我看过的有两种方法可以推倒出来,第一种方法是可以参照郭硕宏著的<电动力学>后面的附录,比较简单,第二种方法比较繁,给你推倒思路:由x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ解出r,θ,φ,r^2=x^2+y^2+z^2,cosθ=z/r,tanφ=y/x,再将r,φ分别对x,y,z求偏倒,然后整体求出对x,y,z的一价偏导数,再次偏导可求出拉普拉斯算子的平方在球坐标系下的表示

球坐标中的拉普拉斯表示都可以查资料查得,一般书上是直接给出球坐标跟柱坐标的拉普拉斯方程,从笛卡尔坐标推导到球坐标和柱坐标要用到拉梅变换,这个变换较复杂,这里不详述.从方程使用来看,直接使用给出的球坐标柱坐标拉普拉斯方程即可.

球的就是根据r^2=x^2+y^2+z^2,cosφ=z/r,tanθ=y/x,再将r,φ分别对x,y,z求偏倒,然后整体求出对x,y,z的一价偏导数,具体的过程不打了,太长了,word都要打一篇…柱面同理 参考数学物理方法第二版据说有,第三版我们用的没看到,高等数学也应该有吧

数学物理方法上有详细的推导 比较好的有:吴崇试,北京大学出版社,第二版梁昆淼,高等教育出版社,第三版R.柯朗 D.希尔伯特,比较老,不过最经典的

拉普拉斯算子的高维球极坐标系表示是 其中是N 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子.拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子,定义为梯度(f)的散度(f).因此如果f是二阶可微的实函数,则f的拉普拉斯算子定义为:f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数:作为一个二阶微分算子,拉普拉斯算子把C函数映射到C函数,对于k≥ 2.表达式(1)(或(2))定义了一个算子Δ :C(R) →C(R),或更一般地,定义了一个算子Δ :C(Ω) →C(Ω),对于任何开集Ω.函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹 另外, 满足f=0 的函数f, 称为调和函数.

比如 (偏方u/偏x方) 应该等于:(偏/偏x)方 作用于u.(1)(偏/偏x)=(偏r/偏x*偏/偏r + 偏θ/偏x*偏/偏θ + 偏φ/偏x*偏/偏φ).(2)偏r/偏x、偏θ/偏x、偏φ/偏x 可由变换公式求得把求得的(2)式代入(1)中再求出关于y、z的一起代入拉普拉斯方程中,应该就行了吧具体的我也没算,你试试吧.(“偏”代表偏导数符号)

作用于标量场上的拉普拉斯算符不就是把场先求梯度,再求散度么. 各个坐标系下的梯度和散度算符表达式,可以通过把度量因子带入下面两个算式得出. 其中 圆柱坐标系的度量因子为1,r, 1 圆锥坐标系的度量因子为1, R, Rsin(θ) 然后用各自坐标系下的梯度和散度算符表达式,来计算拉普拉斯算符 以圆柱坐标为例:

拉普拉斯算子中文名称:拉普拉斯算子英文名称:Laplacian 定义:对于标量场函数f,为该标量场梯度的散度的一个标量,即对于矢量场函数,f为该矢量场散度的梯度减去该矢量场旋度的旋度的一个矢量,即所属学科:电力(一级学科);通论