拉普拉斯算子圆柱坐标

你说的倒三角叫nabla,是哈密尔顿引入的一个算符,和四元数有关,讲出来会让你更糊涂.总之,如你理解是个简写的符号. 拉普拉斯算子作用在某个函数f(x,y,z)上(拿三维举个例子),就是将这个函数对每个变量求二阶偏导数,然后求和,仅此而已. 有时Δf=0用直角坐标不好解,就换成圆柱坐标或球坐标来解,那几个公式就是坐标变换后的拉普拉斯算子. 还有应该没有一维问题,至少是二维才有拉普拉斯算子. 对其所有变量求二阶偏导再求和,当然是对直角坐标而言.

正三角

其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标:另外极坐标的表示法为:三维空间 笛卡儿坐标系下的表示法 圆柱坐标系下的表示法 球坐标系下的表示法 在参数方程为(其中以及)的N维球坐标系中,拉普拉斯算子为:其中是N 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子.

作用于标量场上的拉普拉斯算符不就是把场先求梯度,再求散度么. 各个坐标系下的梯度和散度算符表达式,可以通过把度量因子带入下面两个算式得出. 其中 圆柱坐标系的度量因子为1,r, 1 圆锥坐标系的度量因子为1, R, Rsin(θ) 然后用各自坐标系下的梯度和散度算符表达式,来计算拉普拉斯算符 以圆柱坐标为例:

我看过的有两种方法可以推倒出来,第一种方法是可以参照郭硕宏著的后面的附录,比较简单,第二种方法比较繁,给你推倒思路:由x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ解出r,θ,φ,r^2=x^2+y^2+z^2,cosθ=z/r,tanφ=y/x,再将r,φ分别对x,y,z求偏倒,然后整体求出对x,y,z的一价偏导数,再次偏导可求出拉普拉斯算子的平方在球坐标系下的表示

拉普拉斯算子作用于矢量有两种结果:1、拉普拉斯算子作为矢量,与另外一个矢量点积的结果是标量;2、作为矢量,与另外一个矢量的叉积结果是得到另外一个矢量或者得到张量.拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子,定义为梯度(f)的散度(f).拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间,这时它就有可能是椭圆型算子,双曲型算子,或超双曲型算子.

虽然不确定,但是似乎可以将一个函数“对称化”,如下.假如现在有个U是方程的解,那么考虑另一个函数V,对于任何一个到z轴距里为r的点,V在这个点的值是U在那个圆周上的平均,所谓“那个圆周”,是指和那个点有相同z值,并且距里z轴距里为r的所有点组成的那个圆周.这样V在每一圈上就都是常数了.似乎可以比较容易地验证如果U是方程的解,那么V也是解.至于求出所有可能的V之后怎么往回求U,这就不知道了.

是一码事.就是用D(所谓的拉普拉斯算子)替换d/dt;用D^2替换d2/dt2.与拉氏变换的s是一码事.替掉.

数学物理方法上有详细的推导 比较好的有:吴崇试,北京大学出版社,第二版 梁昆淼,高等教育出版社,第三版 R.柯朗 D.希尔伯特,比较老,不过最经典的